Strategia Magic: La statistica

BLU JP ha scritto:Buona sera, Forum!
Vi riporto delle considerazioni matematiche che ho fatto riguardo le Magic. Spero vi interessi.
Giampaolo.
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[size=150]Le distribuizioni ipergeometriche e il loro utilizzo in MTG.[/size]

Le distribuzioni ipergeometriche sono uno strumento di calcolo delle probabilità che consente di valutare le probabilità di pescare una carta o una serie di carte nella mano iniziale e valutare quanto la fortuna possa incidere su questo. Dunque sappiamo che:
La probabilità di trovare k copie di una carta all’interno di una mano composta da r carte, pescata da un mazzo di n carte è, sapendo che la carta che cerchiamo è disponibile in h copie nel mazzo:




[size=150]Le probabilità di pescare una carta.[/size]

Facciamo un esempio per rendere le cose più semplici anche a chi non è molto ferrato in matematica. Prendiamo un mazzo Enchantress. Il mazzo è composto da 60 carte (quindi n=60). Immaginiamo di voler sapere quante probabilità abbiamo di pescare nella mano iniziale una Argothian Enchantress (ne abbiamo quattro copie nel mazzo, quindi h=4). Nella mano iniziale abbiamo sette carte (quindi r=7) e vogliamo vedere qual è la probabilità di vedere una sola Argothian Enchantress nella mano iniziale (quindi k=1). Inserendo questi numeri nella relazione di sopra ottener rete P(k)=0,336. Questo significa che l’evento che avete scelto si verificherà nel 33,6% delle mani che aprirete. Allora possiamo utilizzare questo metodo per valutare le probabilità che abbiamo di vedere nella mano iniziale i 4x, i 3x, i 2x e gli 1x del mazzo. Ovviamente questa probabilità andrà diminuendo col diminuire del numero delle carte, però è interessante vedere di “quanto diminuisce”, visto che la relazione non è lineare. Inserendo i numeri nella relazione ma sostituendo ad h prima 4, poi 3, poi 2 e poi 1 si ottengono le probabilità di vedere in opening hand una sola copia di una carta presente rispettivamente in 4x, 3x, 2x e 1x. Possiamo anche aumentare il numero della stessa carta che vogliamo vedere in prima mano e rifare il calcolo (modificando questa volta k tenedo h fisso). Si ottiene questa tabella:



Vediamo come fondamentalmente avere un 4x o un 3x non cambia di molto la percentuale di vedere quella carta in prima mano (la differenza è solo del 5,5%). Invece la differenza tra un 4x e un 2x è circa del 13% (già comincia ad essere evidente) ed è ovviamente ancor più marcato il delta tra 4x e 1x (circa il 23%).


[size=150]La regola degli 8 Starter.[/size]

Come già detto altrove una buona norma di Deck-building prevede che nell’assemblare un mazzo si debba tenere presente che è ottimo avere a disposizione almeno 8 starter (cioè un complessivo di 8 carte a cc1 con cui iniziare la partita). Prendiamo sempre come esempio il mazzo Enchantress. Abbiamo 8 accelerini che possiamo considerare come “starter”: Utopia Sprawl e Wild Growth, entrambe in 4x. Quindi possiamo fare lo stesso calcolo di prima considerando la probabilità di pescare uno starter tra le prime sette carte della mano iniziale, ponendo h=8. Otteniamo P(k)=0,4217, quindi una probabilità del 42,17% di avere uno starter in prima mano. Questo numero è eccellente perché siamo vicini al 50% di possibilità di vederne uno in prima mano e se anche non ne pescassimo uno in prima mano abbiamo una probabilità di pescarne uno al turno successivo pari al 15% (8 possibilità su 53). Non avreste in alcun modo un numero maggiore di possibilità (a meno che non disponiate di più di 8 starter). Allora la tabella precedente può essere modificata come segue:



Nella tabella ho messo gli “-“ dove il risultato non esiste (non potete calcolare la possibilità di avere 2 copie di una carta che avete messo in 1x) e ho messo i “…” quando il risultato diventa talmente piccolo da essere un evento che rasenta l’impossibile (se ci riuscite sappiate che non vi ricapiterà mai più nella vita).

8x (ad esempio 4 Utopia Sprawl e 4 Wild Growth) è il numero perfetto e paradossalmente è il numero che garantisce la massima probabilità di pescare esattamente 1 copia in opening hand di quelle carte. Infatti guardate la tabella, si ha 42% massimo di probabilità di avere esattamente un accelerino in mano con Enchantress se giochiamo 8 copie, se invece ne giochiamo di più (10x ad esempio) la probabilità è più bassa. Non è assurdo ne sbagliato. E’ corretto così. Infatti aumenterà la probabilità che peschiate PIU’ di un accelerino nella mano iniziale, ma non quella di pescarne esattamente uno. Se analizziamo la probabilità di pescarne 2 in prima mano però notiamo come giocare 10x dia una probabilità più alta (25%) rispetto all’8x (19%) e come questo divario aumenti all’aumentare del numero di copie (attenzione non è una relazione lineare, anche questa curva avrà un massimo e non sarà una retta). Quindi possiamo dire che la regola degli 8 starter fondamentalmente massimizza la probabilità di vedere una carta con la quale si vuole iniziare la partita già in prima mano.

[size=150]La regola della manabase.[/size]

Come potete vedere anche la manabase è affetta dalla probabilità. Se c’avete fatto caso in genere i mazzi tempo giocano 18-19 terre e i mazzi control si aggirano sempre sulle 23-24 terre. Perché? Si legge dalla tabella:

- Caso1: Canadian Threshold UGr. Se siamo Canadian giochiamo di solito 18 terre. Quindi significa che abbiamo circa il 25% di probabilità di avere una sola terra in opening hand. Tuttavia è molto più probabile che apriate una mano con 2 terre (34%). Infatti la vostra tendenza sarà quella di avere 2 terre in prima mano (almeno 1 partita su 3) mentre sarà più raro, in ordine, aprire con 1 terra o aprire con 3 terre o più. Quindi in realtà 18 terre è il numero giusto per avere stabilità con un mazzo del genere.

- Caso2: Rock WGB. Se siamo Rock giochiamo di solito 23 terre (24 con Maze of Ith, ma non si considera una terra perché non è una fonte di mana). Quindi contiamo 23. Iniziare con due sole terre per un mazzo del genere non è il massimo. Vorremmo sempre avere 3 terre in mano, possibilmente delle fetch. Allora la probabilità di aprire una mano con tre terre deve essere più alta di quella di aprire con due terre o con una terra soltanto. Giocando 23 terre si hanno circa lo stesso numero di probabilità di aprire con tre terre che Canadian avrebbe di aprire con due, quindi nella situazione migliore. Non è la stessa perché dovremmo giocarne più di venticinque per avere il 33%, ma diciamo che il 31% è più o meno la stessa cosa. Ecco che quindi un control che gioca 23 terre deve aspettarsi come “mano ideale” una mano con 3 terre. Inoltre sarebbe dannoso per un mazzo così aprire una mano con quattro terre, pertanto si preferisce aprire con 2 piuttosto che aprire con 4. Se giochiamo 23 terre abbiamo una probabilità di aprire due terre (29%) molto maggiore di quella di aprire con 4 (18%). Se ne giocassimo 25 di terre avremmo una probabilità quasi identica (25% contro 22%). Addirittura in alcuni mazzi modern che necessitano di fare land drop sicuro tutti i turni si arriva a giocare 26 terre e in questa circostanza (anche se non l’ho riportata) la probabilità dei due casi è uguale (23%). Inoltre con 23 terre sarà assolutamente impossibile che chiderete mulligan per aver pescato 7 terre… la probabilità è veramente bassa (parliamo dello 0,00001%).



[size=150]Sfruttare le distribuzioni ipergeometriche per ottimizzare Counterbalance.[/size]

Counterbalance è una carta che necessita di una curva di mana studiata appositamente per avere copertura da tutti i cc dei mazzi legacy convenzionali. Ora, è possibile applicare le distribuzioni ipergeometriche alla combo CounterTop per vedere come bisognerebbe ottimizzare la curva di mana del mazzo per avere le migliori probabilità di ottenere il costo desiderato. Per analogia con la formula di sopra si ha che:
La probabilità di trovare 1 copia di una determinata carta con cc desiderato tra le tre carte che si guardano con Sensei’s Divining Top, rivelate dalla cima di un mazzo di n carte è, sapendo che la carta che cerchiamo è disponibile in h copie nel mazzo abbiamo una probabilità P(k) di rivelare la carta giusta.
In sostanza non cambia niente rispetto alla formulazione precedente, soltanto che invece di considerare la mano dobbiamo considerare la cima del grimorio (r=3 e non più 7) e dobbiamo considerare k=1 (perché per stare sicuri vogliamo una sola copia di quella carta con lo stesso cc) e h come il numero di carte con lo stesso cc che abbiamo nel mazzo. Ad esempio prendiamo una lista di Miracle Control che abbia pre-side:

- 24 drop a cc0
- 14 drop a cc1
- 9 drop a cc2
- 3 drop a cc3
- 3 drop a cc4
- 4 drop a cc5
- 3 drop a cc6

Avrà una probabilità di avere il drop giusto tra le prime tre carte in queste percentuali:

- 44% per i drop a cc0
- 42% per i drop a cc1
- 35% per i drop a cc2
- 14% per i drop a cc3
- 14% per i drop a cc4
- 18% per i drop a cc5
- 14% per i drop a cc6

Ho ottenuto questi risultati considerando nella formula: n=60, r=3, k=1 e h=numero di drop.

Ovviamente questo calcolo non è esatto, ma non perché è un calcolo probabilistico. Il motivo risiede nel fatto che voi iniziate il match con 7 carte in mano (che quindi non sono più nel grimorio) e quindi il numero di drop nel mazzo è ridotto. Se pescate in prima mano una Force of Will non avrete più 4 drop a cc5 nel mazzo, ma 3, quindi quando rivelerete la carta di Counterbalance non sarà più 18% ma di meno. Non sarà neanche il 14% perché dipende a che punto siete nella partita: ogni carta che pescate riduce il numero di drop nel mazzo e il numero di carte nel mazzo. Quindi cambiano gli h dentro al mazzo e gli n non sono più 60 ma sempre di meno man mano che pescate. Gia quando avete pescato la mano siete a 53 e via via che pescate dovete togliere una unita da n e dovete togliere una unità dal numero dei drop che avete pescato. Facciamo un esempio. Avete questa lista di Miracle:

Drop a cc0 (h0): 22 terre, 2 Engineered Explosives = 24

Drop a cc1 (h1): 2 Spell Pierce, 4 Sensei’s Divining Top, 4 Brainstorm, 4 Swords to Plowshares = 14

Drop a cc2 (h2): 3 Snapcaster Mage, 2 Counterspell, 4 Counterbalance = 9

Drop a cc3 (h3): 2 Entreat the Angels, 1 Vendilion Clique = 3

Drop a cc4 (h4): 3 Jace, the Mind Sculptor = 3

Drop a cc5 (h5): 4 Force of Will = 4

Drop a cc6 (h6): 3 Terminus = 3



Immaginate di pescare questa mano e immaginate di non mulligare (si lo so non è una mano da tenere, ma è soltanto un esempio):

4 terre, 2 Sensei’s Divining Top, 1 Counterbalance

Se iniziate voi non pescate, quindi avrete sempre k=1 e r=3, ma avrete n=53, h0=20, h1=12 e h2=8. Al turno 2 pescate Snapcaster Mage e giocate Sensei’s Divining Top. Quindi ora n=52 e h2=7. Al turno dopo pescate terra e giocate Counterbalance, quindi n=51 e h0=19. Dal turno 3 in poi dovete fare i conti…
Ora pescate ad esempio Counterspell e siete pronti per counterare. Un giocatore vi lancia una magia e voi a questo punto avete queste probabilità (ottenute con la formula di sopra e con i dati di quel turno):

- 45% per i drop a cc0
- 43% per i drop a cc1
- 37% per i drop a cc2
- 16% per i drop a cc3
- 16% per i drop a cc4
- 21% per i drop a cc5
- 16% per i drop a cc6

Come si vede le probabilità di counterare una magia a cc3 (punto dolente di Counterbalance) sono aumentate, semplicemente perché si sono ridotte le carte nel grimorio e siccome non abbiamo pescato drop a cc3 abbiamo di fatto aumentato le possibilità di averne uno in cima. I drop a cc0 e a cc1 sono aumentati in probabilità perché ne abbiamo talmente tanti che pesa di più il fatto di avere meno carte nel grimorio che il fatto di averne alcuni in mano. Lo stesso vale ancor di più per i drop a cc2.
Ma se invece di Snapcaster Mage avessimo pescato Vendilion Clique? A quel punto le percentuali cambierebbero molto perché avremmo sensibilmente ridotto i drop a cc3: ora infatti dovremmo rifare i conti con h3=2 e h2=9:

- 45% per i drop a cc0
- 43% per i drop a cc1
- 37% per i drop a cc2
- 11% per i drop a cc3
- 16% per i drop a cc4
- 21% per i drop a cc5
- 16% per i drop a cc6

In generale quindi possiamo dire questo: se vi aspettate che il mazzo del vostro avversario abbia cc bassi andate tranquilli in ogni caso. Se vi aspettate che potrebbe avere costi fastidiosi ma non potete sidare out Counterbalance dovete fare in modo di non pescare i drop a cc3, 4 o quello che sia, quindi se ce l’avete in mano sapete già che avete una probabilità molto più bassa di rivelarlo dalla cima. Questo dovrebbe anche indurvi a pensare su come ottimizzare i counters che avete in mano: se pescate Vendilion Clique sapete già che i counters che avete in mano dovranno andare sulle magie a cc3, perché con CounterTop non siete protetti (ovvero, siete protetti solo all’11%).

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Beorg ha scritto:Ma guarda, sinceramente il numero delle carte nel mazzo va in base alle voltte che mi può servire, se penso che mi possa bastara un Disincantare se lo vedo una sola volta a partita per me va bene, tanto lo pesco quando ho bisogno.

Beorg ha scritto:Ma guarda, sinceramente il numero delle carte nel mazzo va in base alle voltte che mi può servire, se penso che mi possa bastara un Disincantare se lo vedo una sola volta a partita per me va bene, tanto lo pesco quando ho bisogno.

ilnaco ha scritto:ok, mi son letto da cima a fondo questo articolo (non capendo un cazzo quando parla di magic in senso stretto).
Porcatroia mi state gasando.

Creo un topic a parte dove vi chiedo un po di info.